Hyperbolske funktioner

Hyperbolske funktioner er matematiske funktioner af en variabel. De er analoge til de mere kendte trigonometriske funktioner som er forbundet med en cirkels egenskaber. På samme måde er de hyperbolske funktioner forbundet med en en hyperbels egenskaber. De vigtigste hyperbolske funktioner er sinh (hyperbolsk sinus), cosh (hyberbolsk cosinus) og tanh (hyperbolsk tangens).

De blev først studeret af den schweiziske matematiker Leonhard Euler før år 1750. Men deres geometriske indhold og matematiske betydning blev klarlagt omkring ti år senere af den italienske matematiker Vincenzo Riccati og hans samtidige Johann Heinrich Lambert. Den sidstnævnte har også givet funktionerne de navne som stadig bruges i dag. Han kom frem til dem i forbindelse med sine undersøgelser af det som i dag kaldes hyperbolsk geometri.

De trigonometriske funktioner sin og cos kan benyttes til at parametrisere en cirkel. I et kartesisk koordinatsystem er enhedscirklen med centrum i origo og radius 1 beskrevet ved ligningen x² + y² = 1. Ved at skrive x = cosα og y = sinα hvor vinkelen α  angiver et punkt på cirkelen målt fra x - aksen, følger den fundamentale sammenhæng cos²α + sin²α = 1.

I samme koordinatsystem er enhedshyperblen beskrevet ved ligningen x² - y² = 1. De to vigtigste hyperbolske funktioner kan nu defineres ved parametriseringen x = cosha og y = sinha hvor den variable a kaldes den hyperbolske vinkel. Den kan identificeres med arealet som er begrænset af hyperbelen vist i figuren. Indsat vil disse to funktioner derfor opfylde den fundamentale ligning cosh²a - sinh²a = 1. I modsætning til de trigonometriske funktioner, kan disse to hyperbolske funktioner derfor antage vilkårligt store værdier. Den tredje hyperbolske funktion er defineret som tanha = sinha/cosha og antager værdier som altid ligger mellem ±1. Ligesådan kan man definere cotha = 1/tanha som kan antage vilkårlige værdier.